CRISTAL PERFEITO - A Trilha do Grande Veículo

Superfície Característica de um Tensor Simétrico de Segunda Ordem

As propriedades em questão, bem como a sua anisotropia e afinidades com a simetria do cristal, podem ser bem compreendidas através da interpretação geométrica dos tensores de segunda ordem como superfícies de segundo grau, cuja equação geral é:

S₁₁x₁²+S₂₂x₂²+S₃₃x₃² +2S₃₂x₃x₂+2S₁₃x₁x₃+2S₁₂x₁x₂=1 (2)

A equação acima pode ser escrita dessa forma em virtude da simetria do tensor (S_ij = S_ji). Esta poderia ser, por exemplo, a equação da superfície característica da eletrocondutibilidade específica do cristal.

As superfícies de segunda ordem possuem eixos principais nas três direções perpendiculares entre si. Se tomarmos os eixos principais como eixos coordenados, a equação acima se torna:

S₁₁x₁² + S₂₂x₂² + S₃₃x₃² = 1 (3)

O tensor de segunda ordem no sistema de coordenadas principal terá uma forma diagonal:

Os valores S₁, S₂ e S₃ são as componentes principais do tensor de eletrocondutibilidade específica. No sistema principal de coordenadas, as equações em (1) são simplificadas:

J₁ = S₁ E₁ ; J₂ = S₂ E₂ ; J₃ = S₃ E₃

Se o campo elétrico está aplicado na direção x₁, e E₂ = E₃ = 0, então J₂ = J₃ = 0 e J = E. As mesmas considerações são válidas para x₂ e x₃. Por isso, dizemos que os eixos principais nos cristais são as direções ao longo das quais os vetores de ação e reação coincidem na direção.

Propriedades Geométricas

A magnitude do raio vetor da superfície característica r em uma direção qualquer está relacionada com a magnitude que caracteriza a propriedade correspondente na mesma direção, por exemplo a propriedade S, com a correlação:

S = 1 / r²

Se a propriedade dada faz parte da equação de interação vetor-vetorial (ação vetorial, reação vetorial), como isso acontece na lei de Ohm, nesse caso a superfície característica da propriedade nos dá a possibilidade de determinar a direção do vetor de reação segundo a direção do vetor de ação e vice-versa.

A magnitude de uma propriedade numa dada direção, como acabamos de ver, está relacionada com o inverso do quadrado da distância (raio vetor).